Меню

Задача о замене оборудования оборудованию 2 года

Задача о замене оборудования

2. Задача о замене оборудования

Задача о замене оборудования (обновлении, восстановлении, перестройке) имеет важное значение. Рассмотрим ее в упрощенной постановке Известно, что оборудование со временем изнашивается, стареет физически и морально. В процессе эксплуатации, как правило, падает его производительность и растут эксплуатационные расходы на текущий ремонт. Со временем возникает необходимость замены оборудования, так как его дальнейшая эксплуатация обходится дороже, чем ремонт или замена. Отсюда задача о замене может быть сформулирована так: в процессе работы оборудование дает ежегодно прибыль, требует эксплуатационных затрат и имеет остаточную стоимость. Эти характеристики зависят от возраста оборудо вания. В любом году оборудование можно сохранить, продать по остаточной цене и приобрести новое. В случае сохранения оборудования возрастают эксплуатационные расходы и понижается производительность. При замене нужны значительные дополнительные капитальные вложения. Задача состоит в определении оптимальной стратегии замен в плановом периоде с тем, чтобы суммарная прибыль за этот период была максимальной.

Для количественной формулировки задачи введем следующие обо значения r(t) стоимость продукции, производимой за год на единице оборудования возраста t лет, u(t) расходы, связанные с эксплуатацией этого оборудования, s(t) остаточная стоимость оборудования возраста t лет, р покупная цена оборудования, Т — продолжительность планового периода, t = 0, 1, 2, , Т номер текущего года.

Чтобы решить задачу, применим принцип оптимальности Беллмана. Рассмотрим интервалы (годы) планового периода в последовательности от конца к началу. Введем функцию условно-оптимальных значений функции цели Fk(t). Эта функция показывает максимальную прибыль, получаемую от оборудования возраста t лет за последние k лет планового периода. Здесь возраст оборудования рассматривается в направлении естественного хода времени. Например, t = 0 соответствует использованию совершенно нового оборудования. Временные же шаги процесса нумеруются в обратном порядке. Например, при k = 1 рассматривается последний год планового периода, при k = 2 последние два года и т. д., при k = T последние T лет.

В этой задаче систему составляет оборудование. Ее состояние характеризуется возрастом. Вектор управления это решение в момент t = 0, 1, 2, +, Т о сохранении или замене оборудования. Для нахождения оптимальной политики замен следует проанализировать, согласно принципу оптимальности, процесс от конца к началу. Для этого сделаем предположение о состоянии оборудования на начало последнего года (k = 1). Пусть оборудование имеет возраст t лет. В начале T-го года имеется две возможности: 1) сохранить оборудование на T — й год, тогда прибыль за последний год составит r(t) u(t), 2) продать оборудование по оста точной стоимости и купить новое, тогда прибыль за последний год будет равна s(t) р + r (0) u(0), где r(0) стоимость продукции, выпущенной на новом оборудовании за первый год его ввода, u(0) эксплуата ционные расходы в этом году. Здесь целесообразно разворачивать про цесс от конца к началу. Для последнего года (k=1) оптимальной политикой с точки зрения всего процесса будет политика, обеспечивающая максимальную прибыль только за последний год. Учитывая значение прибыли при различном образе действия (замена сохране ние), приходим к выводу, что решение о замене оборудования возраста t лет следует принять в случае, когда прибыль от нового оборудования на последнем периоде больше, чем от старого, т. е. при условии

Источник



Пример решения задачи о замене оборудования

Рассмотрим задачу о замене оборудования на следующем примере. В начале планового периода продолжительностью N = 4 года имеется оборудование, возраст которого t, причем оборудование не должно быть старше 6 лет (примем t = 2 года).
ИЗВЕСТНЫ:

  • r(t) — стоимость продукции, произведенной в течение каждого года планового периода с помощью этого оборудования;
  • U(t) — ежегодные затраты, связанные с эксплуатацией оборудования (эти характеристики зависят от возраста оборудования;
  • s — остаточная стоимость оборудования (принимаем s = 4 д.ед.), не зависящая от его возраста;
  • р — стоимость нового оборудования, включающая расходы, связанные с установкой, наладкой, запуском оборудования и не меняющаяся в данном плановом периоде (р = 13 д.ед.)

ТРЕБУЕТСЯ:
Разработать оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования, т.е. на начало каждого года планового периода установить, сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости s, или купить новое оборудование, чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла максимальной величины.
1. Составить матрицу максимальных прибылей Fn(t) за 4 года;
2. Сформулировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования возрастов t1 и t2 лет в плановом периоде, продолжительностью 4 и 3 года.
Таблица соответствия стоимости продукции и затрат от возраста

Возраст t 1 2 3 4 5 6
Ст.продукции r(t) 27 26 26 25 24 23 21
Ст.расходов u(t) 15 15 16 16 16 17 19

Решение находим с помощью калькулятора.
Математическая модель задачи:
Z = ΣFi(xi)→max

Экономический смысл переменных:
N — плановый период эксплуатации оборудования;
ZC — прибыль в случае сохранения оборудования;
ZЗ — прибыль в случае замены оборудования;
S — первоначальное состояние системы;
S H i — предполагаемый возраст оборудования в начале i-го периода, т.е. после того, как мы примем решение сохранить или заменить его;
Si — возраст в конце i-го периода;
r(t) — прибыль от эксплуатации;
u(t) — расходы на эксплуатацию;
s — остаточная стоимость оборудования;
p — стоимость нового оборудования;
t — возраст оборудования;
fi — доход на i-ом шаге;
Fi — максимальный доход на i-ом шаге.

Прибыль, если в начале года выбрано управление «сохранение» оборудования:
Zc = r(t) — u(t)
Прибыль в случае «замены»:
ZЗ = s — p + r(0) — u(0)

Состояние системы (S) характеризуется возрастом оборудования
t = 0, 1, …. Значение t = 0 соответствует новому оборудованию.
В формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с учетом всех возможных состояний системы, в которых она может находиться сразу после принятия решения в начале данного года.
Основное функциональное уравнение на последнем N-ом шаге:
FN(SN-1, xN) = max ZN(SN-1, xN)

При произвольном шаге (i H i, xi) + Fi+1(Si)>
Прибыль на i-ом шаге будет определяться следующей парой формул:
— при управлении «сохранение»
Fi(S H i, xi) = r(Si, xi) — u(S H i)
— при управлении «замена»
Zi(S H i, xi) = s — p + r(0) — u(0)
Для нашего примера расчет начинается с последнего, четвертого года планового периода:
F4(S3, x4) = max Z4(S H 3, x4)
при этом:
— в случае «сохранения» оборудования:
Z4(S H 4, x4) = r(S H 4) — u(S H 4)
— в случае «замены»:
Z4(S H 4, x4) = 4 — 13 + 27 — 15 = 3
Составляется 1-ая таблица, рассматриваемая все возможные НАЧАЛЬНЫЕ состояния оборудования, т.е. его возраст S3 = 1 — 6 лет, начиная с конца — последнего шага.

Таблица 1. F4(S3, x4) = max Z4(S H 3, x4)
Шаг 4

Возраст S3 в конце 3-го шага Управление x4 Предполагаемый возраст S H 4 в начале 4-го шага Прибыль Z4 Max доход на F4 шаге
1 Сохранение 1 11 11
Замена 3
2 Сохранение 2 10 10
Замена 3
3 Сохранение 3 9 9
Замена 3
4 Сохранение 4 8 8
Замена 3
55 Сохранение 5 6 6
Замена 3
6 Сохранение 6 2 3
Замена 3

Анализ таблицы показывает, что заменять оборудование выгодно только в том случае, если его возраст уже равен 6 годам, т.е. по условиям оборудование нельзя использовать далее.
Теперь анализируем ситуацию перед третьим годом исследуемого периода.
F3(S2, x4) = max 3(S H 3, x3) + F4(S3)>
при этом:
— в случае «сохранения оборудования»
Z3(S H 3, x3) = r(S H 3) — u(S H 3)
— в случае «замены»
Z3(S H 3, x3) = 4 — 13 + 27 — 15 = 3
Следует оптимизировать расходы за последний и предпоследний годы (за двухлетний период).
Оптимальная прибыль за 4-ый год берется из таблицы 1.
Учтем, что S H 2 — возраст оборудования в начале третьего года сразу после принятия решения о его «сохранении» или «замене»;
S3 — возраст оборудования к концу третьего года.
Данные в колонку F4 переносятся из предыдущей таблице в соответствии со значением параметра S3.
Таблица 2. F3(S2, x4) = max 3(S H 3, x3) + F4(S3)> Шаг 3

Читайте также:  Оборудование vasil gym b 110 для спортзала
S1 x3 S H 2 Z3 из таблицы 1 Возраст S3 в конце 3 шага F4 Z3 + F4 F3
1 Сохранение 1 11 2 10 21 21
Замена 3 1 11 14
2 Сохранение 2 10 3 9 19 19
Замена 3 1 11 14
3 Сохранение 3 9 4 8 17 17
Замена 3 1 11 14
+4 Сохранение 4 8 5 6 14 14
Замена 3 1 11 14
5 Сохранение 5 6 6 3 9 14
Замена 3 1 11 14
6 Сохранение 6 2 14
Замена 3 1 11 14

Также проводится условная оптимизация на начало второго года (шаг 2) и составляется таблица 3.
Таблица 3. F2 (S1,x4) = max 2(S H 2, x2) + F3(S2)> Шаг 2

S1 x2 S H 1 Z2 S2 F3 Z2 + F3 F2
1 Сохранение 1 11 2 19 30 30
Замена 3 1 21 24
2 Сохранение 2 10 3 17 27 27
Замена 3 1 21 24
3 Сохранение 3 9 4 14 23 24
Замена 3 1 21 24
4 Сохранение 4 8 5 14 22 24
Замена 3 1 21 24
5 Сохранение 5 6 6 14 20 24
Замена 3 1 21 24
6 Сохранение 6 2 24
Замена 3 1 21 24

Также проводится условная оптимизация на начало первого года (шаг 1) и составляется таблица 4, которая завершает условную оптимизацию.
Таблица 4. F1 (S0, x4) = max 1(S H 1, x1) + F2(S1)> Шаг 1

S1 x2 S H 1 Z2 S2 F3 Z2 + F3 F2
1 Сохранение 1 11 2 19 30 30
Замена 3 1 21 24
2 Сохранение 2 10 3 17 27 27
Замена 3 1 21 24
3 Сохранение 3 9 4 14 23 24
Замена 3 1 21 24
4 Сохранение 4 8 5 14 22 24
Замена 3 1 21 24
5 Сохранение 5 6 6 14 20 24
Замена 3 1 21 24
6 Сохранение 6 2 24
Замена 3 1 21 24

С помощью таблиц условной оптимизации можно сформулировать оптимальную политику в отношении оборудования любого возраста не старше 6 лет в течение 4-х летнего периода.
Для наглядности основные результаты, содержащиеся в последних столбцах четырех последних построенных таблиц, оформляются в виде сводной таблицы, которая называется матрицей максимальных прибылей, и выделяются элементы, ниже которых расположены показатели суммарной прибыли, соответствующие выбору управления «ЗАМЕНА».
Элементы, расположенные выше линии выделения, находятся в области «СОХРАНЕНИЯ» оборудования.
Матрица максимальных прибылей

t ГОДЫ
1-4 2-4 3-4 4
42
1 38 30 21 11
2 34 27 19 10
3 33 24 17 9
4 33 24 14 8
5 33 24 14 6
6 33 24 14 3

Сформулируем оптимальную политику в отношении оборудования, возраст которого 2 года.
В матрице прибылей для t = 2 в первой колонке стоит суммарная прибыль 34 д.ед. за четыре года, при этом выбор управления «СОХРАНЕНИЕ».
К началу второго года возраст оборудования составит 3 года, поэтому в следующей колонке выбирается строка, соответствующая возрасту 3 года.
Оптимальная прибыль за второй — четвертый годы — 24 д.ед., и мы находимся в области «ЗАМЕНЫ» оборудования, следовательно, к началу 3-го года оборудование будет иметь возраст 1 год.
Прибыль за третий — четвертый годы для такого оборудования равна 21 д.ед., за последний четвертый год — 10 д.ед. (при возрасте t = 2).

ВЫВОД: рекомендуется замена оборудования в начале 2-го года эксплуатации.

Источник

20. Задача об оптимальной стратегии замены оборудования

Известно, что оборудование со временем изнашивается, физически и морально стареет. В процессе эксплуатации падает производительность, и растут эксплуатационные расходы на текущий ремонт. Со временем возникает необходимость замены оборудования, так как его дальнейшая эксплуатация обходится дороже, чем замена. Отсюда задача о замене оборудования может быть сформулирована следующим образом.

Разработать оптимальную стратегию замены оборудования возраста лет в плановом периоде продолжительностью лет, если известны:

– стоимость продукции, производимой в течение года на оборудовании возраста лет ( );

– ежегодные расходы, связанные с эксплуатацией оборудования возраста лет ( );

– остаточная стоимость оборудования возраста лет;

– стоимость нового оборудования и расходы, связанные с установкой, наладкой и запуском.

В начале каждого года имеется две возможности: сохранить оборудование и получить прибыль или заменить его и получить прибыль . Прибыль от использования оборудования в последнем -м году планового периода запишется в следующем виде:

А прибыль от использования оборудования в период с -го по -й год –

Где – прибыль от использования оборудования в период с -го по -й год.

В случае, если оба управления («сохранение» и «замена») приводят к одной и той же прибыли, то целесообразно выбрать управление «сохранение».

Найти оптимальную стратегию замены оборудования возраста 3 года на период продолжительностью 10 лет, если для каждого года планового периода известны стоимость продукции, производимой с использованием этого оборудования, и эксплутационные расходы (таблица 24). Известны также остаточная стоимость, не зависящая от возраста оборудования и составляющая 4 ден. ед., и стоимость нового оборудования, равная 18 ден. ед., не меняющаяся в плановом периоде.

I этап. Условная оптимизация

1-й шаг. . Начнем процедуру условной оптимизации с последнего, десятого года планового периода. Для этого шага состояние системы: = 0, 1, 2, …, 9, 10. Функциональное уравнение (4.5) с учетом числовых данных примера принимает вид

Полученные результаты занесем в таблицу (первая строка таблицы 25).

2-й шаг. . Проанализируем девятый год планового периода. Для второго шага возможны состояния системы = 0, 1, 2, …, 9, 10. Функциональное уравнение (4.6) с учетом числовых данных примера принимает вид

Полученные результаты занесем в таблицу (вторая строка таблицы 25).

Продолжая вычисления описанным способом, постепенно заполняем всю таблицу (см. таблица 25).

II этап. Безусловная оптимизация

В начале исследуемого десятилетнего периода возраст оборудования составляет 3 года. Находим в таблице на пересечении строки и столбца = 3 значение максимальной прибыли — = 169. Найдем теперь оптимальную политику, обеспечивающую эту прибыль. Значение 169 записано слева от жирной черты в области «политик сохранения». Это означает, что в начале первого года принимается решение о сохранении оборудования. К началу второго года возраст оборудования 3 + 1 = 4 года. Расположенная на пересечении строки и столбца = 4 клетка находится слева от жирной черты, следовательно, и второй год нужно работать на имеющемся оборудовании. К началу третьего года возраст оборудования 4 + 1 = 5 лет. Расположенная на пересечении строки и столбца = 5 клетка находится справа от черты, в области «политик замены», следовательно, в начале третьего года следует заменить оборудование. К началу четвертого года возраст оборудования составит один год. Расположенная на пересечении строки и столбца = 1 клетка находится слева от черты, следовательно, четвертый год следует работать на имеющемся оборудовании. Продолжая рассуждать таким образом, последовательно находим = 104, = 85, = 67, = 58, = 37, = 18.

Цепь решений безусловной оптимизации можно изобразить символически следующим образом:

Итак, на оборудовании возраста 3 года следует работать
2 года, затем произвести замену оборудования, на новом оборудовании работать 3-й, 4-й, 5-й и 6-й годы, после чего произвести замену оборудования и на следующем оборудовании работать 7-й, 8-й, 9-й и 10-й годы планового периода. При этом прибыль будет максимальной и составит = 169 ден. ед.

Источник

Задача замены оборудования

Чем дольше механизм эксплуатируется, тем выше затраты на его обслуживание и ниже его производительность. Когда срок эксплуатации механизма достигает определенного уровня, может оказаться более выгодной его замена. Задача замены оборудования, таким образом, сводится к определению оптимального срока эксплуатации механизма.

Предположим, что мы занимаемся заменой механизмов на протяжении n лет. В нчале каждого года принимается решение либо об эксплуатации механизма еще один год, либо о замене его новым. Обозначим через и и прибыль от эксплуатации летнего механизма на протяжении года и затраты на его обслуживание за этот же период. Далее пусть s(t) — стоимость продажи механизма, который эксплуатировался t лет. Стоимость приобретения нового механизма остается неизменной на протяжении всех лет и равна I. Элементы модели динамического программирования таковы.

Читайте также:  Устройство кабинета офтальмолога в поликлинике оборудование

1. Этап i представляется порядковым номером года i,i= 1,2. п.

2. Вариантами решения на i-м этапе (т.е. для i-го года) являются альтернативы: продолжить эксплуатацию или заменить механизм в начале i-го года.

3. Состоянием на i-м этапе является срок эксплуатации t (возраст) механизма к на­чалу i-гo года.

Пусть — максимальная прибыль, получаемая за годы от i до п при условии, что в начале i-го года имеется механизм t-летнего возраста.

Рекуррентное уравнение имеет следующий вид.

где

Компания планирует определить оптимальную политику замены имеющегося в настоящее время трехлетнего механизма на протяжении следующих 4 лет (n=4), т.е. вплоть до начала пятого года. Приведенная таблица содержит относящиеся к задаче данные. Компания требует замены механизма, который в эксплуатации 6 лет. Стоимость нового механизма равна 100000 долларов.

Возраст (года) Прибыль ($) Стоимость обслуживания ($) Остаточная стоимость s(t) ($)

Определение допустимых значений возраста механизма на каждом этапе является нетривиальной задачей. На рис 4 представлена рассматриваемая задача замены оборудования в виде сети. В начале первого года имеется механизм трехлетнего возраста. Мы можем либо заменить его (3), либо эксплуатировать (С) на протяжении следующего года. Если механизм заменили, то в начале второго года его возраст будет равен одному году, в противном случае его возраст будет 4 года. Такой же подход используется в начале каждого года, начиная со второго по четвертый.

Если однолетний механизм заменяется в начале второго или третьего года, то заменивший его механизм к началу следующего года также будет однолетним. К тому же, в начале 4-го года 6-летний механизм обязательно должен быть заменен, если он еще эксплуатируется; в конце 4-го года все механизмы продаются (П) в обязательном порядке. На схеме сети также видно, что в начале второго года возможны только механизмы со сроком эксплуатации 1 или 4 года. В начале третьего года механизм может иметь возраст 1, 2 или 5 лет, а в начале четвертого — 1,2,3 или 6 лет.

Решение данной задачи эквивалентно нахождению маршрута максимальной длины (т.е. приносящего максимальную прибыль) от начала первого года к концу четвертого в сети, показанной на рис. 4. При решении этой задачи используем табличную форму записи. (Числовые Данные в таблице кратны тысячам долларов.).

Этап 4.
t C З Оптимум
+s(t+1)- +s(t)+s(1)- I Решение
19.0+60-0.6=78.4 20+80+80-0.2-100=79.8 79.8 З
18.5+50-1.2=67.3 20+60+80-0.2-100=59.8 67.3 С
17.2+30-1.5=45.7 20+50+80-0.2-100=49.8 49.8 З
Необходима замена 20+5+80-0.2-100=4.8 4.8 З
Этап 3.
t C З Оптимум
+ +s(t)- I+ Решение
19.0-0.6+67.3=85.7 20+80-0.2-100+79.8=79.6 85.7 С
18.5-1.2+49.8=67.1 20+60-0.2-100+79.8=59.6 67.1 С
14.0+1.8-4.8=17.0 20+10-0.2-100+79.8=9.6 17.0 С
Этап 2.
t C З Оптимум
+ +s(t)- I+ Решение
19.0-0.6+67.1=85.5 20+80-0.2-100+85.7=85.5 85.5 С или З
19.0-0.6+67.3=85.7 20+80-0.2-100+79.8=79.6 85.7 З
Этап 2.
T C З Оптимум
+ +s(t)- I+ Решение
17.2-1.5+35.5=51.2 20+50-0.2-100+85.5=55.3 55.3 З

На рис. 5 показана последовательность получения оптимального решения. В начале первого года оптимальным решением при t = 3 является замена механизма. Следовательно, новый механизм к началу второго года будет находиться в эксплуатации 1 год. При t = 1 в начале второго года оптимальным решением будет либо использование, либо замена механизма. Если он заменяется, то новый к началу третьего года будет находиться в эксплуатации 1 год, иначе механизм будет иметь возраст 2 года. Описанный процесс продолжается до тех пор, пока не будет определено оптимальное решение для четвертого года.

Следовательно, начиная с первого года эксплуатации механизма, альтернативными оптимальными стратегиями относительно замены механизма будут (3, С, С, 3) и (3, 3, С, С). Общая прибыль составит 55 300 долларов.

Упражнения 4.4,с

1. Постройте сеть и найдите оптимальное решение в задаче из примера 4-3 в каждом из следующих случаев.

a) В начале первого года имеется механизм, находящийся в эксплуатации 2 года.

b) В начале первого года имеется механизм, находящийся в эксплуатации 1 год.

c) В начале первого года куплен новый механизм.

2. Мой тринадцатилетний сын занимается собственным бизнесом — косит газоны десяти клиентам. Каждому клиенту он косит траву три раза в год, получая за один скошенный газон 50 долларов. Он купил косилку за 200 долларов. На протяжении первого года затраты на содержание и использование косилки равны 120 долларов, и через год они увеличиваются на 20%. Одногодичная косилка может быть продана за 150 долларов, и с каждым годом ее стоимость уменьшается на 10%. Мой сын планирует продолжить свой бизнес, пока ему не исполнится 16 лет, и считает, что более выгодно менять косилку через каждые два года. Он объясняет это тем, что цена новой косилки увеличивается за год лишь на 10%. Справедливо ли его решение?

3. Группа ферм владеет трактором двухлетней давности и планирует разработать стратегию его замены на следующие пять лет. Трактор должен эксплуатироваться не менее двух и не более пяти лет. В настоящее время новый трактор стоит 40 000 долларов, и эта цена за год увеличивается на 10%. Текущая годичная стоимость эксплуатации трактора составляет 1300 долларов и, как ожидается, будет увеличиваться на 10% в год.

a) Сформулируйте задачу в виде задачи о кратчайшем пути.

b) Постройте соответствующее рекуррентное уравнение.

c) Определите оптимальную стратегию замены трактора на следующие пять лет.

4. Рассмотрим задачу замены оборудования на протяжении п лет. Цена новой единицы оборудования равна с долларов, а стоимость продажи после t лет эксплуатации равна s(t)=2(n-t) при п>t и нулю — в противном случае. Годичная прибыль от эксплуатации является функцией возраста оборудования t и равна r(t)=r 2 —t 2 при п>t и нулю — в противном случае.

a) Сформулируйте задачу как модель динамического программирования.

b) Определите оптимальную стратегию замены оборудования двухгодичной давности при с=10 000 долларов, считая, что п=5.

5. Решите задачу из предыдущего упражнения, предполагая, что возраст оборудования составляет 1 год и п = 4, с = 6000 долларов, r(t) = n/(n + 1).

Задача инвестирования

Предположим, что в начале каждого из следующих п лет необходимо сделать инвестиции p1, p2, . Рп соответственно. Вы имеете возможность вложить капитал в два банка: первый банк выплачивает годовой сложный процент r1, а второй— r2. Для поощрения депозитов оба банка выплачивают новым инвесторам премии в виде процента от вложенной суммы. Премиальные меняются от года к году, и для i-го года равны qi1 и qi2 в первом и втором банках соответственно. Они выплачиваются в конце года, на протяжении которого сделан вклад, и могут быть инвестированы в один из двух банков на следующий год. Это значит, что лишь указанные проценты и новые деньги могут быть инвестированы в один из двух банков. Размещенный в банке вклад должен находиться там до конца рассматриваемого периода. Необходимо разработать стратегию инвестиций на следующие п лет.

Элементы модели динамического программирования следующие.

1. Этап i представляется порядковым номером года i, i= 1,2. n.

2. Вариантами решения на i-м этапе (для i-го года) являются суммы и , инвестиций в первый и второй банк соответственно.

3. Состоянием хi на i-м этапе является сумма денег на начало i-го года, которые могут быть инвестированы.

Заметим, что по определению . Следовательно,

где Сумма денег которые могут быть инвестированы, включает лишь новые деньги и премиальные проценты за инвестиции, сделанные на протяжении -го года.

Пусть оптимальная сумма инвестиций для интервала от -го до n-го года при условии, что в начале -го года имеется денежная сумма . Далее обозначим через — накопленную сумму к концу п-гогода при условии, что и ( ) — объемы инвестиций на протяжении -го года в первый и второй банк соответственно. Обозначая i = 1,2, мы можем сформулировать задачу в следующем виде.

Читайте также:  Реанимационное оборудование для больниц

Максимизировать

Так как премиальные за п-й год являются частью накопленной денежной суммы от инвестиций, в выражения для sn добавлены qn1 и qn2.

Итак, в данном случае рекуррентное уравнение для обратной прогонки в алгоритме динамического программирования имеет вид

где хi+1 выражается через в соответствии с приведенной выше формулой, afn+1(xn+l) 0.

Предположим, вы хотите инвестировать 4000 долларов сейчас и 2000 долларов 3в начале каждого года, от второго до четвертого, считая от текущего года. Первый банк выплачивает годовой сложный процент 8% и премиальные на протяжении следующих четырех лет в размере 1.8%, 1.7%, 2.1% и 2.5% соответственно. Годовой сложный процент, предлагаемый вторым банком, на 0.2% ниже, чем предлагает первый банк, но его премиальные на 0.5% выше. Задача состоит в максимизации накопленного капитала к концу четвертого года.

Используя введенные выше обозначения, имеем следующее.

где

Функция является линейной по I4 в области 0

Источник

Задача о замене и ремонте оборудования

Целью решения является определение оптимальных сроков замены и ремонта старого оборудования (станков, зданий и т.п.). Критериями оптимизации могут выступать:

— прибыль от эксплуатации оборудования (задача максимизации);

— суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

Важность задачи обусловлена:

— физическим и моральным износом оборудования;

— ростом производственных затрат, связанных с эксплуатацией и ремонтом старого оборудования;

— снижением производительности труда;

Предположения при построении модели:

— весь срок эксплуатации может быть разбит на n периодов;

— решение о замене принимается в начале каждого периода;

— решение, принимаемое для одного периода, не влияет на решения для других периодов;

— основная характеристика оборудования – его возраст t;

— возможное управление на каждом шаге выбирается качественно, например, X с – сохранить оборудование, X з – заменить, X р – ремонт.

Рассмотрим алгоритм решения на конкретном примере.

Постановка задачи.

Оборудование эксплуатируется в течение 4 лет, после чего продается. В начале каждого года можно либо продолжать эксплуатацию имеющегося оборудования, либо заменить оборудование на новое. Пусть стоимость нового оборудования постоянна и не зависит от года покупки, ликвидная стоимость зависит от возраста t продаваемого оборудования (при его замене на новое) и равна .

Затраты на содержание оборудования в течение года зависят только от возраста t оборудования и равны .

Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты на эксплуатацию с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.

Решение задачи.

Весь период эксплуатации разобьем на 4 шага. Таким образом шаг k принимает значения 1, 2, 3, 4. Параметр состояния системы на каждом шаге определяется возрастом оборудования.

В начале первого года оборудование новое, и параметр состояния принимает единственно возможное значение . В дальнейшем, к началу шага параметр состояния равен возрасту оборудования , где .

При выборе управления в конце шага возраст увеличится на 1, т. е. значение параметра состояния .

При управлении в начале шага k оборудование возраста t продается и заменяется новым, т. е. его возраст становится равен нулю: . Тогда через год эксплуатации (в конце шага k) параметр состояния .

Таким образом, уравнения состояния имеют вид:

(30)

Показатель эффективности шага также зависит от выбора управления для каждого возможного значения :

(31)

С учетом исходных данных задачи имеем:

(32)

При вариант управления единственный, поэтому эффективность шага определяем по формуле

. (33)

Далее выполняем пошаговое решение задачи в соответствии с общим алгоритмом решения задач динамического программирования.

Минимизируем условные оптимальные затраты на последнем шаге при k=4 для всех возможных значений .

(34)

В уравнениях Беллмана на этом шаге учтена заключительная продажа оборудования в конце 4-го шага по ликвидной стоимости .

Условные оптимальные затраты на остальных шагах k=3,2,1 вычисляем последовательно по формулам:

(35)

В итоге получим оптимальное значение целевой функции всей задачи:

(36)

Геометрическое решение

Решение задачи о ремонте и замене оборудования удобно проводить на графе. В этом случае задача становится похожа на задачу поиска минимального маршрута.

Граф задачи можно составить из отдельных фрагментов (рис.13), каждый из которых отображает возможный переход из состояния в состояние . По оси абсцисс будем откладывать номер шага k, по оси ординат – возраст оборудования t.

«Точка» на плоскости соответствует началу шага k эксплуатации оборудования возраста t (на схеме «точку» изображаем кружком). Перемещение к концу шага происходит в зависимости от выбранного в начале шага управления либо в «точку» при управлении , либо в «точку» при управлении .

На каждом векторе перемещения записываются соответствующие затраты в соответствии с формулами (32).

k-1,t
k,t+1
k,1

Рис.13. Фрагмент графической схемы решения

Рисуем всю графическую схему (рис.14), состоящую из четырех шагов, с разметкой затрат . Затраты вычисляем по формулам (32) и (33). Внутри кружков в конце последнего шага записываем ликвидную стоимость для каждого возможного возраста оборудования со знаком «–» (рис. 14).

Рис.14. Разметка графа в задаче о замене оборудования
-500
-1000
-125
-250

t
k

Графическая схема на рис.14 похожа на схему маршрутов между пунктами А и Б на рис.4. Отличие лишь в том, что вместо одного конечного пункта Б в данной схеме имеем 4 возможных конечных пункта , , , . При этом заранее неизвестно, в какой из них ведет минимальный маршрут. Начальное состояние определено однозначно.

При графическом решении данной задачи условные оптимальные затраты на каждом шаге, вычисляемые по формулам (35), удобно записывать в соответствующих вершинах графа (кружках). Соответствующие локальные оптимальные управления для каждого состояния системы (векторы) для наглядности выделяем двойной линией. Результат решения показан на рис.15.

Рис.15. Графическое решение задачи о замене оборудования
-500
-1000
-125
-250
2500
1900
1250
1050
650
100

t
k
4800

Минимальное значение целевой функции . Оптимальное управление соответствует непрерывной ломаной линии, составленной из локальных оптимальных управлений на каждом шаге:

, т. е. оборудование следует заменить на новое один раз через 2 года эксплуатации.

Графический метод решения задачи об оптимальных сроках замены оборудования достаточно просто и наглядно позволяет найти все варианты в случае неединственности оптимального решения.

Изменим в условии задачи функцию затрат на содержание оборудования в течение года. Пусть .

Графическая модель задачи и её решение показаны на рис.16. Минимальное значение целевой функции . Задача имеет пять оптимальных вариантов управления:

Рис.16. Пример неединственности оптимального решения
-500
-1000
-125
-250
3500
2500
2000
1250
1000
500

t
k
6000

Универсальность алгоритма

Рассмотренный алгоритм решения может быть расширен как за счет большего числа шагов (периодов принятия решения), так и за счет увеличения вариантов управления (текущий ремонт, капитальный ремонт). Можно учитывать зависимость стоимости нового оборудования и функции затрат на эксплуатацию в зависимости от года (шага k): .

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Источник